Storia dell'infinito di Piergiorgio Odifreddi

RICERCHE A CURA DI D. PICCHIOTTI

30 aprile 2001
Puntata realizzata con gli studenti del Liceo Scientifico "Giordano Bruno" di Torino

"Infinito" come concetto filosofico e religioso
Rapporti tra religione e scienza: Cantor e il Sant'Uffizio
L'infinito per Giordano Bruno
L'infinito nelle altre culture
Infinitamente piccolo, infinitamente grande
La rappresentazione dell'infinito nell'arte e nella letteratura: Tristram Shandy di Sterne, Il Castello di Kafka
Il nastro di Moebius
A che serve parlare di infinito? Crea problemi o li risolve?
Siti internet sul tema
STUDENTESSA: Benvenuti al liceo "Giordano Bruno" di Torino. Siamo qui con Piergiorgio Odifreddi, che ringraziamo per aver accettato il nostro invito, per parlare dell'infinito. Prima di iniziare la discussione, guardiamo insieme una scheda filmata per meglio introdurre il tema.

Già i filosofi greci posero l'infinito, che essi chiamavano "apeiron", come principio della realtà. Ma l'infinito matematico appariva qualcosa di più temibile, inclassificabile, di in-definito. I Pitagorici scacciarono dalla loro setta Ippaso di Metaponto, colpevole di aver rivelato l'esistenza dei numeri irrazionali.
Nell'800, il matematico Georg Cantor consacrò i propri studi al tentativo di rendere definito e operativo in matematica un concetto come quello di infinito. Mosso anche da interessi filosofici e addirittura teologici, Cantor formulò una nuova categoria di numeri, i numeri "transfiniti". Un insieme infinito, secondo la definizione di Cantor, è un insieme che possiede almeno un sottoinsieme con cui è in corrispondenza biunivoca. Insomma, per gli insiemi infiniti il tutto non è sempre maggiore delle parti. Le conseguenze di questa scoperta furono enormi. Oggi l'infinito è un oggetto familiare per gli scienziati, uno strumento che pone alcuni problemi e permette di risolverne molti altri. Ma al profano, e forse anche allo scienziato, il salto dal finito all'infinito continua a dare come una vertigine. Per l'uso che ne fanno le scienze, l'infinito è un rapporto e non un'idea, uno strumento e non una essenza. Possiamo allora dire che è possibile conoscere attraverso l'infinito, ma non conoscere l'infinito? E i nostri sforzi in questa direzione saranno sempre inutili, frustrati e destinati allo scacco, come sosteneva Kant?

ODIFREDDI: Non so se avete sentito parlare di Nicola Cusano, che non a caso era un cardinale . Perché c'è un collegamento tra l'infinito e Dio. È stato per lo meno così proposto. Ebbene Cusano verso il 1450 nelle sue opere - La dotta ignoranza e Le congetture - fu il primo a introdurre il concetto d'infinito. Oggi in matematica l'infinito è qualche cosa di abbastanza naturale, lo si usa quotidianamente, però il concetto d'infinito matematico è più recente. Verso la fine dell'Ottocento, con questo signore, di cui abbiamo sentito per lo meno il nome nel filmato: Cantor, che è colui che ha iniziato la teoria matematica dell'infinito. Quindi queste sono un po' le tre tappe; i Greci che lo rimuovevano, Cusano che in realtà l'ha introdotto in maniera filosofica teologica, e poi Cantor, che invece lo ha introdotto in maniera matematica.

STUDENTESSA: Si parla di infinito matematico e di infinito filosofico. Esistono dunque diversi tipi di infinito o è lo stesso preso in considerazione sotto diversi punti di vista?

ODIFREDDI: Ma guarda questo è vero per molti concetti che sono filosofici, ma che poi vengono usati nella scienza. Pensa alla "causalità", al rapporto tra causa ed effetto. L'infinito è uno di questi. Ma il modo in cui i filosofi considerano l'infinito forse non è quello che usano i matematici e gli scienziati. Gli scienziati lo usano effettivamente come infinito dei numeri. Dico "dei" al plurale perché, la cosa può sembrare strana, ci sono tanti infiniti. I matematici hanno scoperto che di infiniti ce ne sono infiniti, che è una specie di circolarità. E il primo che si è accorto che forse più di un infinito poteva esistere è stato Giordano Bruno. Siamo qui in una scuola, che è intitolata per l'appunto a Giordano Bruno. Se Voi, probabilmente avete letto le opere di Giordano Bruno, ebbene ne La cena delle ceneri, fa uno strano ragionamento. Dice: supponiamo di avere una palla, come la terra. La terra viene illuminata dal sole, ma soltanto una parte della terra viene illuminata dal sole. Man mano che ci si allontana, il sole è più lontano dalla terra, una parte sempre maggiore della sfera viene illuminata. Ora, domanda: quant'è la parte della sfera che al massimo può venire illuminata? Se il sole fosse all'infinito, allora illuminerebbe esattamente metà della sfera. Ora Giordano Bruno si chiede: ma poverina l'altra metà della sfera che cosa fa? Rimane in ombra? Allora l'idea di Giordano Bruno è: quando arriviamo all'infinito, facciamo un passo in più, incominciamo ad andare oltre questo primo infinito e il sole comincerà a illuminare la parte di dietro della sfera. Quando s'arriva all'infinito per la seconda volta tutta la sfera è illuminata. Non c'è bisogno di dire che questa è, ovviamente, è un'idea semplicemente metaforica, non ha nessun senso. Però è la prima volta nella storia in cui qualcuno pensa che ci sia effettivamente la possibilità di avere due o più infiniti. I matematici oggi sono arrivati ad averne addirittura infiniti. E chi scoprì che ci sono infiniti infiniti fu proprio quel Cantor ( Georg Cantor 1845 - 1918) di cui abbiamo già citato il nome prima.

STUDENTESSA: In che modo un'entità superiore, quale Dio, dovrebbe essere infinita? Esiste un rapporto tra religione e scienza?

ODIFREDDI: Qui ci sono due domande. Naturalmente il rapporto tra religione e scienza certamente esiste, non fosse il fatto che, tanto per citare appunto Giordano Bruno, nel momento in cui le sue teorie cominciano a postulare infiniti mondi che esistono nell'infinito spazio per un infinito tempo, Giordano Bruno finisce al rogo. Quindi effettivamente rapporti ci sono, ma non sono sempre stati rapporti ottimali. Però il problema dell'infinito in teologia è un problema interessante, perché fino a quando l'infinito non c'era, o meglio, fino a quando l'infinito veniva rimosso - abbiamo detto prima che i Greci in qualche modo lo rimuovevano - si pensava che Dio non esistesse perché non c'era l'infinito. Tutte le dimostrazioni dell'esistenza di Dio di San Tommaso nella Summa theologiae: le cinque vie che portano a Dio, sono tutte basate sul rifiuto dell'infinito. Nel momento in cui Cusano, un cardinale come dicevo prima, riconduce il concetto di infinito, ecco che si fa un voltafaccia. Prima Dio c'era perché l'infinito non c'era, nel momento in cui arriva l'infinito Dio c'è perché c'è l'infinito. Quindi quello mi sembra un po' un modo di risistemare sempre le cose a proprio vantaggio. Però appunto dal 1450 fino alla fine dell'Ottocento, l'infinito fu identificato per l'appunto come qualche cosa che sta oltre il finito, qualche cosa che sta oltre il nostro mondo e dunque con il trascendente, con Dio. C'è una storiella interessante, che Vi posso raccontare: quando Cantor scoprì che c'erano più infiniti, Cantor, nonostante il suo nome, che è ovviamente di origine ebraica, era cristiano, battezzato, quindi se ne preoccupò. Ovviamente era la fine dell'Ottocento, non c'era più pericolo di andare al rogo, però volle sapere che cosa la Chiesa pensava di questo fatto, la Chiesa cattolica. Andò in Vaticano, portò i suoi lavori e disse al Santo Uffizio, che era governato allora da un cardinale tedesco: "Ma Eminenza io ho qui lavori di matematica che mi dicono che ci sono più infiniti, in realtà tanti infiniti". Il cardinale disse: "Ma, insomma io la matematica non la conosco quindi do ai miei segretari i suoi lavori perché se li studino". I segretari erano dei domenicani - Voi sapete che il Santo Uffizio si è basato spesso sui domenicani per fare i suoi affari -, e i domenicani si presero due anni, perché ovviamente hanno dovuto cominciare a studiare la matematica la teoria degli insiemi eccetera. Dopo due anni dissero al cardinale: "Guardi, secondo noi, non c'è problema, non c'è pericolo per la fede". Allora Cantor venne convocato in Vaticano e il cardinale del Santo Uffizio gli disse: "Guardi lei può parlare di questi infiniti, purché non li chiami infiniti, perché effettivamente questo darebbe una brutta idea teologica, cioè farebbe una connessione con la divinità". Allora , Cantor scelse un nome, che oggi non sarebbe tanto corretto politicamente perché ha delle implicazioni un po' diverse, li chiamò "transfiniti" e, per il colmo dell'ironia, oggi i matematici chiamano questi transfiniti "cardinali". Quindi, insomma il cerchio. L'idea del cardinale del Santo Uffizio era che oltre tutti questi transfiniti là, alla fine, c'è il vero infinito assoluto. Chiesero a Cantor cosa ne pensava : "Ma per noi matematici quello non c'è. Non esiste un infinito assoluto per i matematici, perché è contraddittorio" e il Santo Uffizio disse: "Va bene quello lì è nostro". Quindi in qualche modo ci sono delle relazioni. La chiesa si è sempre preoccupata , sempre dal momento in cui l'infinito è stato in qualche modo identificato con la divinità. Oggi però i matematici non credono che l'infinito matematico sia in qualche modo un'immagine dell'infinito metafisico. Pensano semplicemente che siano oggetti matematici e quindi li tengono abbastanza distinti.

STUDENTESSA: Quali innovazioni ha avuto il pensiero di Giordano Bruno sull'idea di infinito che si era avuta fino allora?

ODIFREDDI: Giordano Bruno era un seguace di Cusano. Cusano era vescovo di Bressanone dove si parla il tedesco. Però Cusano aveva fatto un sacco di pasticci dal punto di vista filosofico. Se Voi leggete: Le congetture e soprattutto: La dotta ignoranza, non a caso l'ignoranza arriva già nel titolo. Cusano credeva che nell'infinito tutto diventasse uguale. Lui credeva che un triangolo infinito fosse uguale a una retta, fosse uguale a un cerchio infinito, e così via. Giordano Bruno, che era un seguace per l'appunto di Cusano, però in tempi diversi, non più nel 1450, ma nel 1600, introdusse, come ho detto prima, l'idea di due infiniti. La sua idea dell'infinito era molto moderna. Lui aveva questa idea dello spazio infinito, che l'universo non fosse soltanto una porzione finita in qualche modo, ma che si estendesse in tutte le direzioni senza limiti. È la stessa cosa per il "tempo": anche il tempo doveva essere infinito e soprattutto - questo certamente non avrebbe dato gran fastidio alla chiesa - però quello che diede fastidio alla chiesa fu che Giordano Bruno usò il concetto di infinito anche per i mondi. Lui sosteneva che ci fossero infiniti mondi, che il sistema solare fosse solo un esempio di sistema in cui potesse esserci la vita e che in giro per l'universo ci fossero infiniti di questi altri sistemi, in cui probabilmente ci fossero infiniti altri esseri, specie viventi, che avessero l'intelligenza. Questo naturalmente provocò dei grandi problemi teologici. Sant'Agostino già lo diceva, pensava che non fosse possibile che ci fosse vita in altri pianeti, perché se ci fosse vita in altri pianeti, allora Dio avrebbe dovuto incarnarsi anche negli altri pianeti, salire e scendere sulla croce, sarebbe diventato un saltimbanco della croce. E questo non si può dire. Gesù Cristo non era un saltimbanco per lo meno per Sant'Agostino. E invece Giordano Bruno introduce quest'idea, per l'appunto la possibilità che ci siano infiniti altri luoghi nell'universo, in cui la vita si è evoluta. Già anche Cusano lo faceva, però Cusano era appunto un cardinale, vicario tra l'altro, cioè il secondo in comando, diciamo così. Quindi aveva un alto potere ed erano altri tempi. Con Giordano Bruno questa idea non andò bene e uno dei crimini, diciamo così, che gli furono imputati e che poi lo portarono al rogo, fu proprio questo, cioè il fatto di aver creduto che ci fossero infiniti mondi e infinite altre specie. Quindi questo è un momento in cui l'infinito effettivamente lascia la filosofia e incomincia ad entrare nella scienza e quindi comincia a parlare di ciò che effettivamente succede nell'universo. E questo evidentemente la Chiesa non poteva accettarlo.

STUDENTESSA: In che cosa differisce la nostra idea di infinito da quella delle civiltà orientali o politeiste?

ODIFREDDI: Le civiltà orientali hanno concezioni abbastanza diverse. Il problema è che noi non abbiamo accettato l'infinito fin dal principio, noi occidentali intendo, che ci rifacciamo alla cultura greca. Per esempio se si va in India - potremo forse poi un giorno fare una trasmissione de Il Grillo, andare tutti in India e vedere, per esempio, i Giainisti sono una antichissima religione, sono addirittura precedenti all'Induismo, che oggi è la religione di maggioranza in India. Ebbene questi giainisti, già credo verso il mille avanti Cristo, pensavano che l'universo avesse una durata infinita, esattamente come dicevamo prima con Giordano Bruno, cioè che non ci fosse stato un inizio e non ci fosse stata una fine. Il problema del monoteismo è che ci sono tanti tipi di monoteismo, almeno quattro nella storia. Uno è finito male, nel senso che è il monoteismo di Akhenaton in Egitto, che è durato pochissimi anni e poi, con la morte di Akhenaton, del faraone, che tra l'altro era il papà di Tutankhamon, che tutti conoscete probabilmente. Ebbene quel tipo di monoteismo è durato molto poco. Ma le cosiddette grandi religioni rivelate: l'ebraismo, il cristianesimo e l'Islam arrivano tutte da una concezione in cui c'è una creazione dell'universo. Se Voi prendete la Bibbia e l'aprite alla prima pagina, al Primo capitolo, la Genesi, inizia proprio così: "In principio Dio creò il cielo e la terra". Allora l'idea che ci sia stata una creazione significa che in realtà l'universo quando si va all'indietro nel tempo, ovviamente può andare soltanto fino a un certo punto, cioè fino agli inizi. Cioè il tempo non va all'infinito all'indietro. La stessa cosa per la fine; Se Voi chiudete la Bibbia, saltando magari quello che c'è in mezzo e andate a vedere L'apocalisse, ebbene L'apocalisse, che è l'ultimo libro della Bibbia cristiana, il Nuovo Testamento, ci raccontano che ci sarà la fine dell'universo, la fine del mondo e il Giudizio Universale. Dunque il tempo in realtà è limitato, è limitato tra un inizio, che è l'inizio della creazione, e la fine, che sarà il momento del giudizio. Invece, in religione appunto come il "Giainismo", questo non lo accettavano. Per loro era possibile che l'universo fosse sempre esistito e che esisterà sempre. Quindi non c'era bisogno per loro di un concetto di creazione, non c'era bisogno del creatore, non c'era nemmeno bisogno del distruttore. Altre religioni, per esempio l'induismo a cui abbiamo accennato, hanno un approccio verso il mondo, che è molto simile invece a quello delle religioni di cui ho appena parlato. Per esempio l'induismo ha tre dei, che sono Brama, Visnù e Shiva. E Brama è l'analogo di Dio Padre, cioè il creatore, Visnù è colui che sostiene l'universo in essere, e poi c'è Shiva, che è il distruttore, che lo porta alla fine. Ecco che qui sembrerebbe che ci fosse una concezione finita del tempo, cioè l'universo cresce, nasce cresce e finisce. Solo che lì in realtà c'è questa danza che si ripete. Shiva distrugge l'universo, ma poi questo universo rinasce. C'è questa idea, questa metafora, che l'universo è semplicemente il battito di ciglia di Visnù. Ed ecco che allora l'infinito ritorna in una maniera un po' diversa, che è l'idea dell'illimitato, del ciclico, del periodico, cioè il tempo circolare. L'universo nasce, cresce, si distrugge, ma poi rinasce e così via, e allora si entra in circolo. Mentre invece dal nostro punto di vista occidentale, nelle nostre religioni, c'è un inizio e una fine, ma una fine che sia definitiva. Dopo di che ci sarà l'eternità, ma è un altro tipo di eternità. Quindi effettivamente, a seconda del tipo di religione, ci sono concetti poi che arrivano nel pensiero filosofico e scientifico dell'infinito. Questo è interessante perché è la domanda che facevi Tu prima, cioè: qual è il legame religione e la scienza. Molto spesso le idee scientifiche nascono come miti, nascono come mitologia. In particolare una delle versioni della mitologia, per coloro che non credono, è proprio la religione. La religione presenta dei miti, un pensiero che è ancora mitologico, certamente non scientifico. Poi questi miti vengono in qualche modo utilizzati e trasformati dalla scienza. Credo che oggi, per esempio l'idea della nascita dell'universo, la creazione della Genesi, viene tradotta scientificamente nell'idea del big bang, questa grande esplosione con cui l'universo ha inizio. Quindi non è stupefacente che religioni che hanno concezioni diverse della divinità o dell'infinito, poi producano delle scienze, diciamo così, che hanno delle idee diverse, anche dal punto di vista dell'infinito.

STUDENTESSA: È possibile definire il concetto di infinito senza ricorrere ad un'eccezione negativa, quindi definendolo per ciò che è.

ODIFREDDI: Ma dunque, ovviamente la parola "infinito" contiene il negativo già agli inizi. Infinito appunto, come dicevamo prima, significa "non finito". Però oggi in matematica questo certamente è possibile. Abbiamo visto nel filmato - non so se ve ne siete accorti -, che in realtà si è data una definizione matematica dell'infinito. Naturalmente non l'avrete capita. Adesso cerchiamo di spiegarla meglio. L'idea è questa, viene da Galileo. Galileo è un altro di quelli che hanno avuto problemi come Giordano Bruno, quando hanno cercato di introdurre nella scienza idee che andassero contro la teologia. Ebbene Galileo ne I discorsi, nella sua ultima opera, scritta per l'appunto quando era, oggi diremmo agli arresti domiciliari, dopo la sentenza del Santo Uffizio, Galileo fa questo ragionamento. Dice: quanti sono i numeri interi? Lo chiedo a Voi, ma potrete immaginare, se siamo in una trasmissione che parla dell'infinito, i numeri interi sono infiniti: lo zero, uno due, tre, eccetera. Quanti sono i numeri pari, secondo Voi?

STUDENTI: Infiniti.

ODIFREDDI: Infiniti. Però ce ne sono certamente meno di quanti siano i numeri interi, perché di numeri pari ce ne sono uno ogni due. L'idea sarebbe che i numeri pari sono metà dei numeri interi. Eppure, tutti avete detto: i numeri pari sono anche loro infiniti. Galileo fu il primo a scoprire questo. Il fatto che a ogni numero corrisponde il suo doppio, quindi a zero corrisponde zero, a uno corrisponde due, a due corrisponde quattro, tre, sei, e così via, e che a ogni numero pari corrisponde la sua metà, nel caso di due uno, nel caso di quattro due, eccetera. Questo è quello che in matematica si chiama una "corrispondenza biunivoca", che alla Vostra età forse fa pensare più a sentimenti di natura diversa, però "corrispondenza biunivoca" significa: ogni numero intero ha il suo doppio, ogni numero pari ha la sua metà. Vedete che la corrispondenza poi è di quel genere lì. E questa fu una scoperta: il fatto che nell'infinito è possibile avere una parte, cioè per esempio i numeri pari, che hanno lo stesso numero di elementi del tutto. Questo oggi è stato rivoltato. Non è più un paradosso dell'infinito, come invece veniva presentato da Galileo, e da altri dopo di lui, bensì è diventato la definizione dell'infinito. Ed è una definizione positiva, cioè non è più negativa. Che cos'è infinito? Infinito è qualche cosa tale che c'è una sua parte, che ha in realtà lo stesso numero di elementi del tutto. E come si fa però a sapere qual'è il numero? Sono tutte e due infiniti. Il numero si fa in questo modo: cioè si mette in corrispondenza ciascun elemento della parte con un elemento del tutto e viceversa. E quando questa "corrispondenza biunivoca" esiste, si dice che i numeri sono uguali. E se c'è una parte che ha lo stesso numero di elementi del tutto, questo si dice che allora è l'infinito. Ed è la definizione che ancora oggi viene usata in matematica.

STUDENTESSA: Ma quindi che senso ha parlare di infinitesimo e infinito? Oppure quali sono le differenze che ci sono tra infinitamente piccolo e infinitamente grande?

ODIFREDDI: Matematicamente si potrebbe dire così: se Tu prendi un numero intero - due, tre, quattro, eccetera - questo man mano che cresce va verso l'infinito. Ma se Tu dividi uno per questi numeri - un mezzo, un terzo, un quarto, eccetera - man mano che il denominatore cresce la frazione diminuisce. Allora il rapporto fra l'infinito e l'infinitesimo è che l'infinito è una quantità che cresce e, quando questa quantità cresce se tu dividi uno per quella quantità il risultato diminuisce. Ora però questo sempre nell'ambito dei numeri interi o razionali: cioè due, tre, quattro, un mezzo, un terzo, un quarto. Questi sono numeri ancora finiti, in qualche senso. L'infinito sarebbe in qualche modo il limite a cui tu arrivi quando continui a far crescere qualche cosa, e l'infinitesimo è qualche cosa a cui tu arrivi quando continui a far decrescere questa cosa. Però è una concezione talmente paradossale che per lungo tempo fu considerata addirittura contraddittoria. Newton e Leibniz, di cui forse avrete almeno sentito parlare, sono i due grandi matematici del Seicento e del Settecento, - coloro che inventarono l'analisi matematica e il calcolo infinitesimale - ebbene questi due signori basarono il calcolo infinitesimale, come dice la parola, sugli infinitesimi. Pensavano che questi infinitesimi esistessero, che ci fossero delle quantità che fossero diverse da zero, ma più piccole di un mezzo, di un terzo, di un quarto, eccetera. E naturalmente ci fu subito qualcuno che si ribellò. Un vescovo, che si chiamava Berkeley scrisse un libro, con un titolo tra l'altro lunghissimo, che non stava certamente sulla costa del libro, e il titolo era ovviamente una reazione dell'arcivescovo al fatto che questi signori, Leibniz e Newton, erano tanto schizzinosi, quando si trattava di parlare di concetti teologici - la divinità, eccetera - poi però quando parlavano di matematica usavano questi concetti abbastanza strani, come l'infinitesimo e l'infinito. Quindi il vescovo li bacchettò duramente. Ed effettivamente i matematici in qualche modo rimossero questi concetti, tipo l'infinitesimo, e così via, e anche l'infinito. È solo nella modernità, dall'Ottocento in avanti, che queste cose sono entrate a far parte ormai del nostro bagaglio. Gli infiniti molto prima. Sembra molto più facile pensare all'infinito che non all'infinitesimo. Però mentre gli infiniti entrarono appunto nella storia con Cantor, di cui Vi ho parlato prima, quello che andò al Santo Uffizio - quindi verso la fine dell'Ottocento, gli infinitesimi sono stati riabilitati, se così vogliamo dire, in termini politici, soltanto molto recentemente, nel 1960. Sono solo quarant'anni che i matematici hanno capito come usare gli infinitesimi in una maniera che non fosse contraddittoria. Però oggi possiamo dire effettivamente che ci sono delle teorie, dei concetti che permettono di parlare sia dell'infinito che dell'infinitesimo in maniera attuale, come se queste cose esistessero veramente. Certo questo con la vita quotidiana ha poco a che fare, intendiamoci, però per lo meno dal punto di vista matematico ci permette di fare calcoli in maniera molto semplificata.

STUDENTESSA: Come facciamo, noi che abbiamo una mente finita, a pensare all'infinito?

ODIFREDDI: Questa è, ovviamente, una delle obiezioni che venivano fatte, per esempio, da Pascal e anche da Cartesio. Era anzi una delle dimostrazioni dell'esistenza di Dio. Il fatto di sapere o di credere che la nostra mente sia finita è che però, nonostante il fatto che sia finita, abbia la possibilità di pensare l'infinito. E allora sia Cartesio che Pascal consideravano questo come la dimostrazione del fatto che ci fosse qualcosa di fuori e che questo qualche cosa esterno riflettesse la sua infinità in questa nozione, che ci veniva messa dentro la zucca, per così dire. Oggi ovviamente non pensiamo più questo. Come dicevo prima, una volta l'infinito era considerato come un limite del pensiero. Oggi invece viene considerato - se posso usare uno di questi trucchi dialettici che usano spesso i filosofi - come "un pensiero del limite". L'infinito noi lo pensiamo, nonostante la nostra mente sia finita, perché possiamo immaginarci quali sono i limiti, e costruire una teoria su quali sono i nostri limiti. L'idea è che effettivamente si possa pensare ai nostri limiti e che di questi limiti si possa fare una teoria. Non so se si è capito, ma comunque questa è la sostanza.

STUDENTESSA: In che modo l'arte contemporanea e la letteratura hanno cercato di rappresentare l'idea di infinito e come questa ha influenzato il nostro pensiero?

ODIFREDDI: L'infinito è usato moltissimo in letteratura, a volte anche in modi un pochettino strani. Non si vedono, sono nascosti. Ma pensate al paradosso di Zenone. Forse molti di Voi lo conoscono, cioè Achille e la tartaruga: Achille che dà un vantaggio, dieci metri alla tartaruga, e poi dice: "Corri pure che adesso ti prendo subito " e poi si scopre, nel paradosso, che in realtà non la potrà mai più raggiungere, perché nel momento in cui Achille percorre dieci metri che ha dato di vantaggio alla tartaruga, la tartaruga si è mossa di un metro, lui percorre il metro, lei si è mossa di dieci centimetri, lui percorre dieci centimetri, lei si è mossa di un millimetro, e così via. Questo è un paradosso, ovviamente. Ma questo paradosso è basato sul concetto di infinito. È paradossale proprio perché c'è questa idea che lo spazio venga diviso fino all'infinito, e che quindi non si possa percorrere in un tempo finito una infinità di passi. Cosa c'entra questo con la letteratura? Beh, moltissima letteratura si è basata ad esempio sul paradosso dell'infinito. Uno dei grandi romanzi del Settecento che è Tristam Shandy non so se lo avete mai letto, che, tra l'altro, inizia in una maniera bellissima, è l'autobiografia di questo signore, Tristam Shandy. E l'autobiografia comincia ovviamente secondo Voi quando? Quando deve cominciare un'autobiografia?

STUDENTI: Dalla nascita.

ODIFREDDI: In realtà Voi siete esistiti per un certo periodo prima della nascita, dal momento del concepimento. E quindi la prima scena di questo romanzo meraviglioso del Settecento inglese, è la scena in cui papà e mamma fanno delle cose che non si possono dire in televisione. Tra l'altro è una scena molto interessante, perché mentre stanno facendo queste cose, la mamma dice al papà: "Hai caricato l'orologio?" e il papà dice: "Ma insomma questo forse non è il momento più adatto per parlare dell'orologio. Questo povero bambino che nascerà, perché abbiamo fatto queste cose avrà dei problemi per tutta la vita perché noi ci siamo distratti nel momento cruciale, parlando dell'orologio". Ebbene Voi capite che se un'autobiografia incomincia in questo modo, prima che si arrivi al dunque passerà un po' di tempo. Dopo quattro volumi di questa autobiografia, lo scrittore scopre di avere impiegato due anni della propria vita per scrivere quattro volumi e per raccontare i primi due giorni della propria vita. Ed ecco che allora dice: "Ma nel frattempo son passati due anni, però. Il che vuol dire che io continuo a scrivere al ritmo di due volumi all'anno e ogni volta faccio un giorno in più e però è passato un altro anno. Questo è il paradosso di Zenone al contrario. Il Tristam Shandy scopre che non è possibile scrivere la propria biografia in maniera dettagliata, perché questo ci porterebbe per l'appunto verso l'infinito. Un altro uso che invece forse tutti conoscete è Kafka. Avrete letto: Il castello, per esempio. In realtà i romanzi di Kafka sono tutti una rappresentazione dell'infinito, al punto che, se Vi accorgete, sono tutti incompiuti. Come mai sono incompiuti? Perché l'idea che Kafka ci vuole dare è che, quando ci si scontra con gli ostacoli della burocrazia non si finisce mai. Voi siete troppo giovani e non lo sapete, ma noi che abbiamo un po' di anni in più lo sappiamo benissimo: gli ostacoli che la burocrazia ci frappone sono infiniti. Allora cosa può fare uno scrittore? Può soltanto suggerire quest'idea di infinità. Racconta tre, quattro, cinque episodi, ma poi è esattamente come nel caso di Achille e la tartaruga. Io non sono stato a dirVi: "E poi dopo un millimetro percorre un decimo di millimetro e Achille gli corre dietro, e poi fa un centesimo di millimetro" faccio i puntini e dico "e così via". Gli ostacoli sono infiniti e non si arriverà mai alla fine. Quindi questo è un altro dei modi in cui l'infinito arriva nella letteratura. Borges, non so se lo conoscete, è uno scrittore moderno, morto quindici anni fa, uno scrittore di lingua spagnola, argentino. Ebbene moltissimi dei suoi racconti sono basati proprio su questa idea di infinito. Lui stesso un giorno ha detto che gli sarebbe piaciuto scrivere la storia dell'infinito e questa storia avrebbe avuto tra i suoi protagonisti molti di quelli che abbiamo citato oggi: Giordano Bruno, Cusano, Cantor e così via. Molti dei suoi racconti sono per l'appunto basati su questo concetto dell'infinito. Quindi per lo meno in letteratura l'infinito è qualche cosa che viene suggerito da tutti questi romanzi che ci raccontano d'infiniti ostacoli nella nostra vita o infiniti episodi della nostra vita. Nell'arte è chiaramente più difficile rappresentare l'infinito direttamente, però c'è qualcuno che ci ha provato. Escher, per esempio, un grafico molto bravo, ha fatto delle immagini, in cui una figura, si ripete più piccola intorno, poi più piccola ancora intorno ed è tutta iscritta in un quadrato e chiaramente questo è un tentativo di rappresentare il paradosso di Zenone sotto forma pittorica, cioè non si arriverà mai al bordo perché ogni volta le figure sono più piccole, ma l'idea è che non si annullano mai. Oppure un altro modo di rappresentare l'infinito nell'arte è quello attraverso l'illimitato. Abbiamo parlato prima del tempo ciclico, che è anche quella una versione del tempo infinito. Ebbene in arte si può rappresentare qualcosa di ciclico. Ad esempio, il nastro di Moebius, non so se lo conoscete. Se Voi prendete un pezzo di carta e lo incollate, quello che ottenete è un cilindro. Questo cilindro ha un dentro e un fuori, ovviamente. Se Voi questo pezzo di carta lungo lo prendete e invece di incollarlo così gli fate fare mezzo giro soltanto, ecco che ottenete una striscia che è una specie di giostra e si chiama nastro di Moebius. E la cosa interessante è che questo nastro ha soltanto una faccia, cioè ha un dentro e, sembrerebbe, un fuori. Però se Voi continuate a percorrerlo scoprite che non c'è differenza tra il dentro e il fuori. Ha solo una faccia. Questo è un modo di rappresentare l'infinito ed è stato usato veramente tanto, per esempio dagli scultori. La letteratura, pittura, la musica, per esempio, rappresenta l'infinito di nuovo con questa ciclicità. Ci sono questi canoni perpetui, ad esempio, nella musica barocca, che incominciano in un certo modo e arrivano alla fine nello stesso modo, cioè si possono in qualche modo incollare e si possono suonare tante volte quante si vogliono di seguito. Questo è un modo di rappresentare l'infinito con la musica. Quindi, anche senza accorgercene, a volte ci sono nelle rappresentazioni artistiche rappresentazioni dell'infinito.

STUDENTESSA: Spostando l'attenzione invece su un piano temporale, è possibile parlare di tempo senza inizio e quindi senza fine?

ODIFREDDI: Dunque questo dipende dal punto di vista. Ho accennato prima al big bang. Oggi il big bang viene considerato, nella maggior parte delle interpretazioni, come il momento in cui non soltanto nasce l'universo, cioè la materia, ma addirittura nasce lo spazio e il tempo. Allora se il tempo nasce col big bang è chiaro che non ha senso chiedersi che cosa è successo prima, perché è nato in quel momento. Però non tutti sono d'accordo su questo fatto. Qualcuno sostiene che il big bang è solo l'esplosione iniziale di qualche cosa che in realtà c'era già prima. E una delle possibilità è per l'appunto questa: che il tempo sia infinito, all'indietro e in avanti, cioè che prima del big bang ci sia stato qualche cosa. Qualcuno sostiene, andando a rivedere Giordano Bruno, che il big bang sia solo una delle possibili esplosioni di universi che ci sono al mondo e che in realtà queste esplosioni siano tante, siano molteplici, siano in realtà addirittura infinite, e che il nostro universo sia come una bolla in una schiuma. Si parla spesso delle religioni orientali, una delle immagini delle religioni orientali per l'infinito e l'illimitato è l'oceano. Noi siamo semplicemente delle increspature sull'oceano, come delle piccole onde, ma la vera realtà è l'oceano che ci sta sotto. Ebbene, addirittura nella fisica, oggi si pensa che questa possa essere un'immagine veritiera di ciò che è il nostro universo. Cioè il nostro universo sarebbe solo una bolla di una enorme schiuma in cui ci sono tante, tantissime, probabilmente infinite, altre bolle, ciascuna delle quali è un universo a se stante, che non è più quello che diceva Giordano Bruno, cioè infiniti mondi nel senso di infiniti sistemi solari, cioè tante stelle tanti pianeti in questo universo, ma sono infiniti mondi nel senso letterale, cioè infiniti universi, nei quali magari possono valere altre leggi della fisica, in cui succedono cose che ovviamente non possiamo sapere. Noi siamo confinati forse in questo universo, però possiamo sognare o temere - non si sa se sia un sogno o un incubo - che fuori di questo universo ce ne siano infiniti altri, magari diversi, altri simili al nostro. Quindi questa è un'idea in cui di nuovo l'infinito interviene, sia dal punto di vista spazio-temporale, come chiedevi Tu, che dal punto di vista proprio di proliferazione dell'universo.

STUDENTESSA: Le scienze naturali o applicate hanno bisogno di utilizzare il concetto di infinito?

ODIFREDDI: Ne hanno bisogno in questo senso, molto preciso, che se Tu usi soltanto i numeri razionali, che immagino conoscerete, Beh, i numeri razionali ovviamente sono l'analogo del finito nella matematica, cioè hanno uno sviluppo decimale finito, o, se non è finito, è periodico, quindi in qualche modo si riesce a descrivere finitamente. Però sapete anche che quasi tutti i numeri reali sono irrazionali. La scoperta del primo irrazionale fu quella dei pitagorici: radice di due. La radice di due è irrazionale. Cosa vuol dire questo? Vuol dire che, se noi vogliamo scrivere lo sviluppo decimale di radice di due, cioè scrivere radice di due come uno virgola quattro, uno e così via, dobbiamo andare fino all'infinito. Quindi ogni volta che Voi parlate, quando fate "analisi" - che hanno inventato Newton e Leibniz, a cui accennavamo prima - ogni volta che Voi parlate di numeri reali, in realtà state parlando di infinito per ciascun numero, eccetto per quei pochi che sono razionali, perché lo sviluppo decimale di questi numeri è infinito. Ed ecco che allora, poiché i numeri reali sono usati dovunque, non solo nella matematica, ma nella scienza, nelle applicazioni fisiche, chimiche, biologiche, eccetera, ogni volta che si usano i numeri reali, in realtà si sta usando l'infinito in maniera magari nascosta, però diretta. È vero che si può anche rivoltar la frittata, come sempre, e cioè dire che è vero che per esempio radice di due ha uno sviluppo infinito, però nelle applicazioni non si va oltre una certa cifra. Però il fatto di non andare oltre una certa cifra significa solo che ci fermiamo ad una certa approssimazione. Se noi vogliamo essere più precisi dovremmo andare oltre, più precisi ancora oltre e l'idea è che, se la precisione dovesse essere infinita, noi dovremmo arrivare fino alla fine. Quindi sì, nella scienza la risposta è: sì, nella scienza l'infinito viene usato ogni volta che si usano i numeri reali, cioè: sempre. E più di così ovviamente non si può.

STUDENTESSA: Al giorno d'oggi a che serve parlare di infinito? Crea problemi o li risolve?

ODIFREDDI: Anzi tutto ci ha permesso di venire qui, il che non è poco: abbiamo fatto una trasmissione. In realtà, come dicevo poco fa, questa è una soluzione di problemi. Cioè il fatto di poter parlare oggi di infinito in matematica significa poter fare, per esempio, un'analisi matematica, poter parlare di numeri reali senza paradosso e sapendo di che cosa si parla. È chiaro che ogni volta che si scopre qualche cosa c'è sempre un problema. C'è un'immagine che è una metafora che paragona la conoscenza a un'isola. E l'idea è: man mano che l'isola della conoscenza si allarga, ovviamente s'allarga anche il bordo, che sarebbe il confine con l'incognito, cioè la nostra ignoranza. Quindi, potrebbe sembrare che non vale la pena di aumentar la propria conoscenza, perché intanto man mano che aumentiamo la conoscenza, cresce nello stesso modo l'ignoranza, la nostra limitatezza. Però in realtà non è così, perché - proprio perché siete un liceo scientifico potete capire quello che sto per dire -, cioè, mentre cresce l'isola della conoscenza, cresce la sua area, mentre invece il bordo è in realtà soltanto una lunghezza. E allora la conoscenza cresce in maniera praticamente quadratica, mentre invece il bordo, l'ignoranza, cresce in maniera lineare. Quindi la conoscenza è molto meglio che l'ignoranza. Quindi, in qualche modo, sapere dell'infinito, conoscerlo, certo provoca dei problemi, perché la matematica poi li deve risolvere e c'è tutta una teoria che cerca di risolver questo, però cresce anche la nostra conoscenza e si può applicare questa conoscenza alla fisica, alla chimica, ma non soltanto a quello, anche semplicemente al pensiero puro. E quindi, secondo me, c'è certamente qualche cosa di positivo.